Como simplificar expressões racionais

Prof_Patrik 4 months ago (edited)
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O que é uma expressão racional?

Expressão racional é a razão entre dois polinômios. São exemplos:

  • (3x + 8) / (x + 1)
  • (x2 + 7x + 12) / (x2 + 5x + 6)
  • (2x5 + 3x3) / (4x2 + 9)

Caso a razão seja entre duas expressões algébricas, além dessa razão ser outra expressão algébrica, também será uma expressão fracionária. São exemplos:

  • (√x + 1) / (x3 - 1)
  • (2x - 5) / (2x + 1)

Note que expressões fracionárias não são necessariamente expressões racionais, assim como expressões algébricas também não são necessariamente expressões racionais.
No entanto, expressões racionais necessariamente são expressões algébricas e fracionárias.

Passo a Passo para Simplificar

Para simplificar uma expressão racional, o procedimento mais comum é reescrever numerador e denominador em suas formas fatoradas para então cancelar os termos em comum. Lembrando que:

  • Fatoração de Polinômios
    Assim como a fatoração de números inteiros consiste em reescrevê-los como o produto de termos mais simples (ou seja, números menores), a fatoração de polinômios também consiste em reescrevê-los como o produto de termos mais simples (nesse caso, polinômios de ordem menor).

  • Cancelar os Termos em Comum
    Os termos que estiverem tanto no numerador quanto no denominador podem ser cancelados.


Exemplo

Simplifique a expressão racional: (x2 - x - 12) / (x2 + 5x + 6)

  1. Encontre as raízes dos polinômios
    Use a fórmula de Bhaskara (ou algum outro método) para encontrar as raízes dos polinômios.
    Aqui, o numerador tem raízes -3 e +4, enquanto que o denominador tem raízes -3 e -2.

  2. Reescreva os polinômios na forma fatorada
    De posse das raízes dos polinômios, podemos facilmente fatorá-los:
    x2 - x - 12 = (x + 3).(x - 4)
    x2 + 5x + 6 = (x + 3).(x + 2)

  3. Reescreva a expressão racional original na forma fatorada
    (x + 3).(x - 4) / (x + 3).(x + 2)

  4. Cancele os fatores em comum
    O único fator que o numerador e o denominador têm em comum é o termo (x + 3). Podemos cancelá-los para obter uma expressão mais simples:
    (x - 4)/(x + 2)

Portanto, podemos simplificar a expressão racional original para:

(x2 - x - 12) / (x2 + 5x + 6) = (x - 4)/(x + 2)

Note que agora não podemos mais simplificar a expressão:

  • O “4” do numerador não pode cancelar o “2” do denominador pois ambos estão dentro de parênteses.
  • O “x” do numerador não pode cancelar o “x” do denominador pois ambos estão dentro de parênteses.
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