Aritmética Básica (ou Aritmética Elementar) é um dos ramos mais antigos e utilizados da matemática. É usado com regularidade tanto em atividades do cotidiano como em ambientes profissionais de exatas.
Costuma-se associar aritmética básica apenas às 4 operações elementares. No entanto, essa é uma simplificação exagerada. O mais correto é estabelecer que aritmética básica consiste no estudo de quantidades fixas, sua representação numérica, propriedades e operações. O que corresponde as seguintes áreas de estudo:
- Sistemas de Numeração
- Noções de Teoria de Conjuntos
- Operações Elementares
- Noções de Teoria dos Números
Sistemas de Numeração
Atualmente o sistema de numeração mais usado é um sistema decimal posicional, ou seja:
- sistema decimal: uso de 10 algarismos para representar todos os números.
- sistema posicional: a posição relativa do algarismo altera seu valor.
Embora pareça um sistema muito simples e óbvio, foi uma longa jornada até a matemática chegar nesse ponto. Ao longo da história existiram vários outros sistemas de numeração e alguns até hoje ainda são usados. Por exemplo:
Sistema de Contagem Unitária: É o sistema mais simples e antigo conhecido. Consiste em um único símbolo repetido diversas vezes.
Sistema de Numeração Romano: É um sistema aditivo composto por 7 letras maiúsculas do alfabeto latino (I, V, X, L, C, D e M). Formalmente não há a representação do zero.
Unidades Mistas: Nesse sistema a base varia conforme a posição do algarismo. É bastante usado em cronometragem (ex: 1h:34m:12s), calendários (ex: 2020-10-20) e medida de ângulos (ex: 51° 28′ 38″ N ).
Noções de Teoria de Conjuntos
Vários conceitos elementares de aritmética se baseiam na noção de conjuntos (ex: contagem de elementos e relações de inclusão). São exemplos:
- Conjunto dos números naturais: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}
- Conjunto dos números inteiros: ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
- Conjunto dos números racionais: ℚ = {a/b | a ∈ ℤ, b ∈ ℤ*}
Dessa forma, por um longo período considerou-se teoria de conjuntos como um ramo da aritmética. No entanto, a teoria moderna de conjuntos avançou tanto que atualmente passou a ser considerada como um ramo de lógica. Mesmo assim, por questões didáticas, noções de conjuntos permanece sendo ensinado junto de aritmética elementar.
Operações Elementares
As 4 operações elementares da aritmética são a adição (ou soma), subtração (ou diferença), multiplicação (ou produto) e divisão.
Operações com frações e números negativos também fazem parte da aritmética elementar. Nesse caso, no entanto, o conceito de número deve avançar de quantidade de elementos num conjunto para posição na linha numérica:
Noções de Teoria dos Números
Aqui 3 conceitos são importantes:
Fatoração: Processo de reescrever um número como o produto de vários fatores.
Números Primos: Números que são divisíveis apenas por 1 e por ele próprio.
Teorema Fundamental da Aritmética: A fatoração em números primos é única.
