CNU 2024: Matemática

CNU 2024: Matemática | (prova)
Bloco 8 - Nível Intermediário

Questão 20

Sejam {a_n}_nϵℕ e {b_n}_nϵℕ duas sequências de números reais, tais que b_n = 2^a_n, Ɐn ϵ ℕ. Sabe-se que {b_n}_nϵℕ é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 16 e cuja razão é 8.
Necessariamente, a sequência numérica {a_n}_nϵℕ é uma progressão

(A) aritmética, cujo primeiro termo é 4 e cuja razão é 3.
(B) aritmética, cujo primeiro termo é 8 e cuja razão é 4.
(C) aritmética, cujo primeiro termo é 16 e cuja razão é 8.
(D) geométrica, cujo primeiro termo é 4 e cuja razão é 3.
(E) geométrica, cujo primeiro termo é 8 e cuja razão é 4.

Resolução

Sabemos diretamente do enunciado que b₀ = 16:

b₀ = 16
2^a₀ = 2⁴
a₀ = 4

Portanto, o primeiro termo da progressão a_n é 4.

Sabemos também que a razão da progressão b_n é 8:

r_b = 8
b_n+1/b_n = 8
2^a_n+1/2^a_n = 2³
2^a_n+1−a_n = 2³
a_n+1 − a_n = 3

Ou seja, a diferença entre termos consecutivos da sequência a_n é sempre constante e igual a 3.
Portanto, a_n é uma progressão aritmética de razão 3:

a_n+1 − a_n = 3
r_a = 3

Gabarito: (A)